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 Curiosidades aleatórias

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MensagemAssunto: Curiosidades aleatórias   Sex Out 07, 2011 11:41 am

Este tópico fica para aquele tipo de assuntos aleatórios que se calhar não encaixam em nenhum tópico existente mas que têm algo de curioso...

Começo por este, uma tartaruga paraplégica com rodinhas:








+ Info: http://articles.nydailynews.com/2011-01-05/news/27086549_1_prosthetics-vets-goose
Fonte das imagens: http://www.dailydawdle.com/2011/03/awesome-meet-tzivka-paraplegic-turtle.html


Outros casos:







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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sex Out 07, 2011 6:07 pm

Bom topico, eu não tenho muita coisa para postar mas vou dar uma procura para contribuir Surprised
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sex Out 07, 2011 6:54 pm

0,99999999999999999999999... = 1

Isto é engraçado e é verdade porque 0,(9) = 9/10 + 9/100 + 9/1000 ... = 9/10 ( 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)

A soma que está entre parênteses é igual a 1/(1-1/10) = 1/(9/10) = 10/9

Ora, (9/10)/(10/9) = 1, pelo que 0,(9) = 1.
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sab Out 08, 2011 2:51 am

Não percebi bem este passo:
Nuno escreveu:
9/10 ( 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)

A soma que está entre parênteses é igual a 1/(1-1/10)
Consegues explicá-lo mais detalhadamente, por favor? A minha matemática está um pouco enferrujada... Embarassed
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sab Out 08, 2011 3:04 pm

Eu não sou grande coisa a explicar matemática, mas vou tentar:

No caso do (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + (1/10)^n ) tens uma sequência do tipo (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n).

Como queres saber o resultado da sua soma, podes usar um truque que é multiplicar essa soma por (1 - x).

(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n) (1- x) = 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 ... x^n - x^(n+1) .

Se reparares, o x cancela o - x, o x^2 cancela o -x^2 e por aí adiante, até que o x^n é cancelado pelo -x^n que o precede. Como tal, ficas só com (1 - x^(n+1)).

Como (1 - x^(n+1)) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n) (1- x), então

(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n) = (1 - x^(n+1))/(1- x) [não sei o quão enferrujada está a tua matemática, mas numa equação x = yz, y=x/z ou z= x/y ]

Mas o que interessa para este caso é que podemos usar isto:

(1 - x^(n+1))/(1- x)

para estudar aquela soma toda.

O que queremos calcular é a soma quando "n" se torna infinitamente grande. Como no nosso caso o x é uma valor menor do que 1 (1/10 = 0,1 ), quando n tende para o infinito, x tende para 0. Experimenta pegar num número menor que 1 e ir elevando-o a números cada vez maiores. Vais ver que cada vez ele se torna mais pequeno, até rasar o 0.

Pronto, como x^(n+1) passados muitos n's se vai tornar praticamente 0, podemos retirá-lo da equação e ficar apenas com

1/(1-x)

Como x = 1/10, temos que

(1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 ... ) = 1/(1-(1/10)) = 1/(9/10) = 10/9


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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sab Out 08, 2011 4:34 pm

Já percebi, explicaste bem. Smile

Só uma pequena correcção de detalhe:
Nuno escreveu:
Mas o que interessa para este caso é que podemos usar isto:

(1 - x^(n+1))/(1- x)

para estudar aquela soma toda.

O que queremos calcular é a soma quando "n" se torna infinitamente grande. Como no nosso caso o x é uma valor menor do que 1 (1/10 = 0,1 ), quando n tende para o infinito, x tende para 0.
Neste caso penso que querias dizer que quando n tende para o infinito, é x^(n+1) que tende para 0 e não x.


Seja como for, quando dizes no passo seguinte que
Nuno escreveu:
Pronto, como x^(n+1) passados muitos n's se vai tornar praticamente 0, podemos retirá-lo da equação
estás a assumir uma pequena incorrecção por aproximação ao limite no infinito. Ora, essa aproximação é suficiente para introduzir um ligeiro erro (infinitamente pequeno), suficiente para que 0,99999(9) = 1.

Resumindo, seria o mesmo que dizeres logo à partida algo como: assumindo um erro de aproximação infinitamente pequeno, podemos dizer que 0,(9) = 1. Seria trivial e não carecia de demonstração uma vez que precisas dessa mesma premissa para poderes concluir a demonstração. Very Happy
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sab Out 08, 2011 5:41 pm

Sou honesto, não sei qual a razão para não se considerar essa eliminação do x^(n+1) quando n tende para o infinito "batota", mas existem outras demonstrações de que, de facto, 0,(9) é 1 e não uma aproximação de 1.

Por exemplo:

1/3 + 2/3 = 0,333(3) + 0,666(6) = 0,999(9) = 3/3 = 1

Esta até é capaz de ser mais simples, mas como a demonstração que me foi primeiro apresentada foi aquela...
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Dom Out 09, 2011 10:38 pm

Pelo teorema da convergência, se |x|<1, a série em n de (ax^n) = ax/(1-x).

Neste caso concreto, 0.(9)=9(1/10+1/100+...) = Σ 9*(1/10)^n (Σ aqui denota uma série em n)

portanto a=9 e x=1/10

logo Σ 9*(1/10)^n = 9*(1/10) / (1-1/10)

E a partir daqui é o que o Nuno disse inicialmente. Basicamente, isto é só calcular o limite de uma série geométrica, que o Nuno também explicou a seguir (e não há erro de aproximação, porque n vai mesmo até infinito).

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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Ter Out 18, 2011 12:46 pm

Awww haha


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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Dom Out 30, 2011 6:06 pm

Bastante curiosa a forma como as abelhas comunicam entre si! Shocked


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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Dom Dez 25, 2011 11:19 am

Awesome






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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Ter Abr 17, 2012 12:24 pm

Lembrei-me da discussão ali em cima.


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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Sex Ago 23, 2013 12:54 am

All Hail the new born star! Very Happy

http://newswatch.nationalgeographic.com/2013/08/22/photos-moment-of-violent-starbirth-captured/?utm_source=Facebook&utm_medium=Social&utm_content=link_fb20130822ngnw-newbrst&utm_campaign=Content
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Qui Set 12, 2013 11:51 pm

Este batráquio teve a infeliz ideia de se aproximar demais aquando do lançamento.
Pelo menos, teve uma vista privilegiada... Mas pouco duradoura!

http://solarsystem.nasa.gov/multimedia/display.cfm?Category=Spacecraft&IM_ID=17966
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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Qui Out 17, 2013 1:09 am

Para quem estiver interessado em explorar a Via Láctea:

http://workshop.chromeexperiments.com/stars/



Neste vídeo podem ver alguns exemplos do que se pode fazer:

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MensagemAssunto: Re: Curiosidades aleatórias   Hoje à(s) 8:08 am

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