Este tópico fica para aquele tipo de assuntos aleatórios que se calhar não encaixam em nenhum tópico existente mas que têm algo de curioso...

Começo por este, uma tartaruga paraplégica com rodinhas:








+ Info: http://articles.nydailynews.com/2011-01-05/news/27086549_1_prosthetics-vets-goose
Fonte das imagens: http://www.dailydawdle.com/2011/03/awesome-meet-tzivka-paraplegic-turtle.html


Outros casos:

Bom topico, eu não tenho muita coisa para postar mas vou dar uma procura para contribuir

0,99999999999999999999999... = 1

Isto é engraçado e é verdade porque 0,(9) = 9/10 + 9/100 + 9/1000 ... = 9/10 ( 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)

A soma que está entre parênteses é igual a 1/(1-1/10) = 1/(9/10) = 10/9

Ora, (9/10)/(10/9) = 1, pelo que 0,(9) = 1.

Não percebi bem este passo:

Nuno escreveu:

9/10 ( 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...) A soma que está entre parênteses é igual a 1/(1-1/10)

Consegues explicá-lo mais detalhadamente, por favor? A minha matemática está um pouco enferrujada...

Eu não sou grande coisa a explicar matemática, mas vou tentar:

No caso do (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + (1/10)^n ) tens uma sequência do tipo (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n).

Como queres saber o resultado da sua soma, podes usar um truque que é multiplicar essa soma por (1 - x).

(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n) (1- x) = 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 ... x^n - x^(n+1) .

Se reparares, o x cancela o - x, o x^2 cancela o -x^2 e por aí adiante, até que o x^n é cancelado pelo -x^n que o precede. Como tal, ficas só com (1 - x^(n+1)).

Como (1 - x^(n+1)) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n) (1- x), então

(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n) = (1 - x^(n+1))/(1- x) [não sei o quão enferrujada está a tua matemática, mas numa equação x = yz, y=x/z ou z= x/y ]

Mas o que interessa para este caso é que podemos usar isto:

(1 - x^(n+1))/(1- x)

para estudar aquela soma toda.

O que queremos calcular é a soma quando "n" se torna infinitamente grande. Como no nosso caso o x é uma valor menor do que 1 (1/10 = 0,1 ), quando n tende para o infinito, x tende para 0. Experimenta pegar num número menor que 1 e ir elevando-o a números cada vez maiores. Vais ver que cada vez ele se torna mais pequeno, até rasar o 0.

Pronto, como x^(n+1) passados muitos n's se vai tornar praticamente 0, podemos retirá-lo da equação e ficar apenas com

1/(1-x)

Como x = 1/10, temos que

(1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 ... ) = 1/(1-(1/10)) = 1/(9/10) = 10/9

Já percebi, explicaste bem.

Só uma pequena correcção de detalhe:

Nuno escreveu:

Mas o que interessa para este caso é que podemos usar isto: (1 - x^(n+1))/(1- x) para estudar aquela soma toda. O que queremos calcular é a soma quando "n" se torna infinitamente grande. Como no nosso caso o x é uma valor menor do que 1 (1/10 = 0,1 ), quando n tende para o infinito, x tende para 0.

Neste caso penso que querias dizer que quando n tende para o infinito, é x^(n+1) que tende para 0 e não x.


Seja como for, quando dizes no passo seguinte que

Nuno escreveu:

Pronto, como x^(n+1) passados muitos n's se vai tornar praticamente 0, podemos retirá-lo da equação

estás a assumir uma pequena incorrecção por aproximação ao limite no infinito. Ora, essa aproximação é suficiente para introduzir um ligeiro erro (infinitamente pequeno), suficiente para que 0,99999(9) = 1.

Resumindo, seria o mesmo que dizeres logo à partida algo como: assumindo um erro de aproximação infinitamente pequeno, podemos dizer que 0,(9) = 1. Seria trivial e não carecia de demonstração uma vez que precisas dessa mesma premissa para poderes concluir a demonstração.

Sou honesto, não sei qual a razão para não se considerar essa eliminação do x^(n+1) quando n tende para o infinito "batota", mas existem outras demonstrações de que, de facto, 0,(9) é 1 e não uma aproximação de 1.

Por exemplo:

1/3 + 2/3 = 0,333(3) + 0,666(6) = 0,999(9) = 3/3 = 1

Esta até é capaz de ser mais simples, mas como a demonstração que me foi primeiro apresentada foi aquela...

Pelo teorema da convergência, se |x|<1, a série em n de (ax^n) = ax/(1-x).

Neste caso concreto, 0.(9)=9(1/10+1/100+...) = Σ 9*(1/10)^n (Σ aqui denota uma série em n)

portanto a=9 e x=1/10

logo Σ 9*(1/10)^n = 9*(1/10) / (1-1/10)

E a partir daqui é o que o Nuno disse inicialmente. Basicamente, isto é só calcular o limite de uma série geométrica, que o Nuno também explicou a seguir (e não há erro de aproximação, porque n vai mesmo até infinito).

Awww haha

Bastante curiosa a forma como as abelhas comunicam entre si!

Awesome

Lembrei-me da discussão ali em cima.